Derivação Implícita e Logarítmica

Na derivação implícita, mesmo em sentenças que não são funções, podemos saber qual a taxa de variação da inclinação da reta tangente às curvas descritas no plano cartesiano. Como falamos no último post sobre derivação, podemos demonstrar a validade da equação que mostra a derivada de uma função logarítmica desta forma.

Há vários casos em que não podemos isolar y em função de x, ou que este procedimento gera expressões muito complicadas, nos quais usaremos um novo método de derivação. Derivamos as equações matemáticas como as encontramos e, em seguida, substituímos y por sua expressão original, obtendo a derivada. A derivação que realizamos até então, explicitamente, apresentava diretamente a derivada em ambos os membros da equação. A mudança é que operamos os dois membros simultaneamente ao invés de só o segundo.

Exemplos:

1 – x³ + y³ = 6xy  [Fólio de Descartes]

    (x³ + y³)’ = (6xy)’.

Considerando y como uma função de x e derivando usando as regras da cadeia, potência e produto, obtemos: 

3x² + 3y²y’ = 6xy’ + 6y

E isolando y’:

y’ = (2y – x²)/(y² – 2x)  □

Geralmente obtemos uma derivada em termos de x e y, mas em alguns casos é possível derivar implicitamente e, em seguida, escrever toda a derivada em termos de y:

2 – x² + y² = 25.

Poderíamos derivar explicitamente após isolar y no primeiro membro, mas é possível fazer este procedimento depois.

(x² + y²)’ = (25)’

Aplicando a regra da cadeia e da soma de derivadas, obtemos:

2x + 2yy’ = 0

Isolando y’:

y’ = -x/y

Então podemos isolar y em nossa função original, substituindo na derivada e obtendo em termos de x, como já ocorria na derivação explícita:

y = (25 - x²)^½

y’ = -x/ (25 - x²)^½ □

Dissemos, no último post em que falamos sobre a derivada, que comprovaríamos a fórmula para calcular a derivada usando derivação implícita. Então, chegou a hora:

y = log_ax ou a^y = x

Derivaremos esta segunda expressão, sabendo que a derivada da função exponencial é a^x ln a e, usando a regra da cadeia, conclui-se que:

(a^y)’ = (x)’

(a^y ln a)(y’) = 1

Isolamos y’:

y’ = 1/ a^y ln a

Sabemos que a^y = x, e realizamos esta substituição:

y’ = 1/ x ln a. □

Às vezes, aplicar a regra da cadeia em funções compostas envolvendo potências pode se tornar algo extremamente demorado e, como sempre buscamos praticidade e eficiência sem a perca da qualidade e do resultado final, que é o caso, usaremos uma técnica de derivação implícita que facilitará em muito todo o nosso trabalho: a derivação logarítmica.

A derivação logarítmica utiliza-se da base exponencial natural que, como vimos em posts anteriores (se desejar, utilize o nosso menu lateral e veja estas postagens), resulta em uma derivada da forma 1/x, obtida ao substituirmos a por e em y’ = 1/ x ln a, sabendo que ln e = 1.

Dada uma função y = f(x), extraímos o logaritmo natural de ambos os membros:

y = (2x³ + 5x)⁴

ln y = ln (2x³ + 5x)⁴

Usamos as propriedades dos logaritmos,

ln y = 4ln (2x³ + 5x)

e, em seguida, derivamos implicitamente:

[ln y]’ = [4ln (2x³ + 5x)]’

(1/y) (y’) = 4[(1/2x³ + 5x) (6x² + 5)]

y’ = 4y (6x² + 5)/(2x³ + 5x)

Substituimos o valor de y na derivada e obtemos o seguinte resultado:

 y’ = 4(2x³ + 5x)⁴ (6x² + 5)/(2x³ + 5x) = 4(2x³ + 5x)³ (6x² + 5). □

A facilidade deve-se ao fato de que todas as potências passam a ser encaradas como constantes multiplicando derivadas e, por isso, passamos a não operá-las durante a derivação. O leitor de nosso blog pode pensar que seria fácil calcular esta derivada usando a regra da cadeia, porém pense no seguinte problema:

3 – Derive y = x^¾ (x² + 1)^½ / (3x + 2)⁵

Já pensou em aplicar as regras do quociente e da cadeia para este caso?

Seria muito mais prático aplicar a derivação logarítmica:

ln y = ln x^¾ (x² + 1)^½ / (3x + 2)⁵

ln y = ¾ln x + ½ln (x² + 1) – 5ln (3x + 2)

E derivar implicitamente depois:

[ln y]’ = [¾ln x + ½ln (x² + 1) – 5ln (3x + 2)]’

y’/y = ¾(1/x)(1) +½(1/ x² + 1)(2x) – 5(1/3x + 2)(3)

y’ = y [3/4x + x/(x² + 1) - 15/(3x + 2)]

Após, substitua y pelo seu valor na equação original:

y’ = [x^¾ (x² + 1)^½ / (3x + 2)⁵] [3/4x + x/(x² + 1) - 15/(3x + 2)]. □

Observações:

- Em todos os casos, consideramos x como a variável independente e y como a variável dependente, fazendo y’ = dy/dx

- A potência ½ possui o mesmo significado que raiz quadrada, sendo usada como forma de possibilitar a aplicação a regra da potência nos casos em que há raízes.

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